求二次函数的关系式，是初中数学的重要内容之一.学会求二次函数的关系式，可使许多问题迎刃而解，怎样求二次函数的关系式呢？有什么技巧呢？现举例说明如下.
　　　　一、用二次函数的性质求
　　　　例１　已知某二次函数的图像关于y轴对称，且过点（０，８），其形状和y＝２x２＋３x＋５的图像形状相同，位置不同，开口方向相反.求此二次函数的关系式？
　　　　分析与解：此题必须熟知二次函数关系式中的系数和图像的关系.二次项的系数的绝对值决定它的形状，只要其绝对值相等，其形状就形同，二次项系数的正负决定它的开口方向，二次项的系数是正数，则图像开口向上，是负数则开口向下.一次项的系数决定图像的左右位置：开口向上时，一次项的系数增大，图像向左平移，一次项的系数减小，图像向右平移；开口向下时，一次项的系数增大，图像向右平移，一次项的系数减小，图像向左平移；一次项的系数为零时，图像关于y轴对称.常数项就是图像与y轴的交点纵坐标.知道了如上知识，不难知道，本题中的二次函数的二次项系数为负２，一次项系数为０，常数项为８，所以此二次函数的关系式为y＝－２x２＋８．此题的技巧在于弄清并利用系数与图像的关系.
　　　　二、用一般式求
　　　　例２　已知某二次函数的图像过点（０，０），（１，－６）和（２， －８）.求此二次函数的关系式.
　　　　分析与解：此函数的图像过点（０，０），说明其常数项为０，所以，可设其函数关系式为：ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，把点（１，－６）和点（２，－８）代入得方程－６＝ａ＋ｂ和－８＝４ａ＋２ｂ，这二个方程组成方程组，解之可得：ａ＝２，ｂ＝－８.所以此函数的表达式为ｙ＝２ｘ２－８ｘ．此方法的技巧是利用坐标与图像的关系，推出常数项为０，使列的方程组较简便.
　　　　三、用顶点式或两根式求
　　　　例３　已知某二次函数过点（１，０），（５，０）和（３，８）.求此二次函数的关系式.
　　　　１． 用顶点式求
　　　　分析与解：仔细观察，不难发现，给出的三个点的横坐标分别是１，３，５．其中３恰好在１和５的中间，根据二次函数图像的对称性可知，３就是它的顶点横坐标，那么（３，８）就是它的顶点坐标，所以此题也可用顶点式来求，设它的关系式为：ｙ＝ａ（ｘ－３）２＋８．把点（１，０）代入得０＝ａ（１－３）２＋８ 解此方程可得ａ＝－２，所以此二次函数的关系式为ｙ＝－２（ｘ－３）２＋８，化为一般形式为ｙ＝－２ｘ２＋１２ｘ－１０．此方法的技巧在于：利用二次函数的对称性，发现（３，８）是顶点坐标，利用顶点式求解，又快又对.
　　　　２．用两根式求
　　　　分析与解：仔细观察还可发现，点（１，０），（５，０）都在x轴上，所以还可用两根式求解，设ｙ＝ａ（ｘ－１）（ｘ－５），把点（３，８）代入此关系式得８＝ａ（３－１）（３－５），解得ａ＝－２，所以此二次函数关系式为ｙ＝－２（ｘ－１）（ｘ－５）．化为一般形式为ｙ＝－２ｘ２＋１２ｘ－１０ 此方法的技巧是：仔细观察，发现两根，再用两根式求解. 免费论文下载中心 　　 四、用实际问题中的数量关系求
　　　　有些问题无法用上面的方法求函数关系式，但是可利用题中的数量关系求出其函数关系式，再进一步用二次函数的有关知识求解.常见的有以下两种情况.
　　　　１．有关商品销售的问题
　　　　例４　已知某商场销售某商品，该商品的进价是每件９０元，调查发现，若定价为每件１００元，每天可售出５００件，在此基础上，价格每上涨１元，每天就少售出２０件，求定价为多少元时，每天获得的利润最多？为多少元？
　　　　分析：本题无法用上面的关系求关系式，但可根据题中的数量关系求出二次函数关系式，本题中的数量关系是：日利润＝每件的利润×日销售的件数.
　　　　解：设定价为每件ｘ元时，日获利为ｙ元，由题意得：
　　　　y＝（ｘ－９０）［５００－２０（ｘ－１００）］
　　　　＝－２０ｘ２＋４ ３００ｘ－２２５ ０００
　　　　＝－２０（ｘ－１０７．５）2＋６ １２５
　　　　所以当ｘ＝１０７．５时，ｙ有最大值６ １２５，即每件定价为１０７．５元时，日获利润最多，为６ １２５元.
　　　　２．有关面积的问题
　　　　例５　用１００米长的篱笆，围一个矩形鸡舍，求长和宽各为多少时，鸡舍的面积最大，最大面积为多少平方米？
　　　　分析：此题根据长×宽＝面积.即可求出二次函数关系式.
　　　　解：设长为ｘ米时面积为ｙ米.由题意得
　　　　y＝（１００÷２－ｘ）ｘ
　　　　＝－ｘ２＋５０ｘ
　　　　＝－（ｘ－２５）２＋６２５
　　　　所以，当长为２５米时，面积最大，最大面积为６２５平方米.此时，宽为１００÷２－２５＝２５米，即此时为正方形.
　　　　以上几种方法和技巧，是求二次函数关系式常用的方法和技巧，学会上面的方法和技巧，做二次函数问题时会又快又对，望各位同学认真学习以上方法和技巧，真正理解其精髓，达到能灵活运用和熟能生巧的程度，那么您的中考成绩肯定因为学习这篇文章而涨不少分数的.这是我二十多年教学经验的精华，若能认真研读，肯定受益许多！